Operador unitario

En análisis funcional un operador unitario es un operador lineal U : H → H en un espacio de Hilbert que satisface:

${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I}$

donde U^∗ es el operador adjunto de U, y I : H → H es el operador identidad. Es equivalente a lo siguiente:

1. El rango de U es un conjunto denso, y
2. U conserva el producto escalar 〈  ,  〉 en el espacio de Hilbert , i.e. para todo vector x e y en el espacio de Hilbert,

${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle =\langle x,y\rangle .}$

Para comprender esto hay que tener en cuenta que el hecho de que U conserve el producto escalar implica que U es una isometría. El hecho de que U tenga un rango denso asegura que tenga inverso U⁻¹. Está claro que U⁻¹ = U^∗.

Además, los operadores unitarios son automorfismos del espacio de Hilbert i.e. preservan su estructura (en este caso, la estructura lineal del espacio, el producto escalar y por tanto la topología del espacio en el que actúan. El grupo de todos los operadores unitarios de un espacio de Hilbert dado H se denomina grupo de Hilbert de H, denotado Hilb(H)

La condición U^∗U = I define la isometría. Otra condición U U^∗ = I define la coisometría

Un elemento unitario es una generalización de un operador unitario. En una álgebra unitaria, un elemento U del álgebra se denomina unitario si:

${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I}$

donde I es el elemento identidad.